Родился в Москве, в районе Лефортово. Происходит из знаменитой династии русских цирковых артистов—дрессировщиков и клоунов, внучатый племянник А. и В. Дуровых. Окончил в 1954 году Школу-студию МХАТ (курс С.К. Блинникова и Г.А. Герасимова), работал в Центральном детском театре. С 1964 года — в Театре им. Ленинского комсомола. Один из любимых актеров А.В. Эфроса, вслед за которым в 1967 году перешел в труппу Театра на Малой Бронной, где и работает по сей день. В 2003—2006 годах был главным режиссером театра. За годы работы сыграл множество ролей, среди которых:

• штабс-капитан Снегирёв («Брат Алёша» В.С. Розова),
• Яго («Отелло» У. Шекспира),
• Сганарель («Дон Жуан» Ж.-Б. Мольера),
• Чебутыкин («Три сестры А.П. Чехова),
• Эзоп («Лиса и виноград» Г. Фигейреду).

В настоящее время играет Пинского («Жиды города Питера А. и Б. Стругацких), Макса Глюка (Кавалер роз» И. Нестроя), а также Сорина («Чайка» А.П. Чехова, театр «Школа современной пьесы»).

В 1977 году окончил Высшие режиссерские курсы при ГИТИСе. Среди поставленных спектаклей: «Золушка» Е. Шварца, «Весельчаки» Н. Саймона, «Лес» А.Н. Островского, «Дорога в Нью-Йорк» Л.А. Малюгина, «Жиды города Питера» А. и Б. Стругацких, «Лиса и виноград» Г. Фигейредо, «Дети?!» С.А. Найденова. В кино Л.К. Дуровым сыграно около 200 ролей, в том числе в таких известных фильмах, как «Я шагаю по Москве», «Девять дней одного года», «Калина красная», «Семнадцать мгновений весны», «Сирота казанская».